Esercizio risolto su come trovare il tasso i in regime di capitalizzazione composta (esempio di matematica finanziaria)

Capita spesso agli esami di matematica finanziaria che venga richiesta la soluzione di un esercizio riguardante la capitalizzazione composta e il tasso i da trovare, conoscendo eventuamente il montante.

In questa lettura potrai osservare un esercizio di questo tipo risolto, ecco il testo dell’esempio che andremo a calcolare:

Si decide di impiegare secondo il regime di interesse composto annuo al tasso i il capitale pari a 3000€; dopo un lasso di tempo pari a due anni si decide di prelevare la metà esatta del montante che è stato prodotto sino a quel momento a partire dal tempo iniziale.
Passati altri 2 anni si decide di prelevare ancora una volta, stavolta dal nuovo montante, per un totale di un quarto di quest’ultimo; sappiamo che nel conto sono rimasti 7900 euro.
Si provveda quindi a calcolare il tasso i a cui è stato impiegato il capitale.

Soluzione dell’esercizio

Sappiamo che il capitale iniziale all’inizio dell’investimento è pari a 3000 euro e che prima del primo prelievo sono passati in tutto 2 anni.

Il montante ottenuto alla fine dei due anni pertanto sarà pari a:

Montante 1 = 3000*[(1+i)^2]

Quindi passati due anni si ritirerà metà del montante, ovvero {3000*[(1+i)^2]}/2.

Essendo il montante diviso a metà, il nuovo capitale con cui riprendere l’investimento sarà pari a C= 3000*[(1+i)^2]/2

Quindi a questo punto passano altri 2 anni prima del nuovo prelievo dal nuovo montante; il nuovo montante sarà quindi pari a:

Montante 2 = {3000[(1+i)^2]/2}[(1+i)^2]

Scegliendo di prelevare un quarto del nuovo montante e sapendo che dopo il prelievo nel conto rimangono 7900 euro potremo scrivere che:

Montante 2 – [(Montante 2)/4)] = 7900

Ovvero in numeri:

{3000[(1+i)^2]/2}[(1+i)^2] – {3000[(1+i)^2]/2}[(1+i)^2]/4 = 7900

Quella che rimane è un’equazione che, posto (1+i) = x va risolta nella seguente maniera:

{1500[(1+i)^2]}[(1+i)^2] – {375[(1+i)^2]}[(1+i)^2] = 7900

{1500[x^2]}[(x^2] – {375[(x^2]}[(x^2)] = 7900

{1500[x^4]} – {375(x^4)} = 7900

{1500[x^4]} – {375(x^4)} = 7900

1125 x^4 = 7900

x^4 = 7,0222

Sostituendo alla x = (1+i) quindi potremo scrivere:

(1+i)^4 = 7,0222

Estraiamo la radice quarta di 7,0222 e otteniamo:

(1+i) = 1,62786

i = 0,62786

Ti piacerebbe confrontarti con altri esercizi di matematica finanziaria sulla capitalizzazione composta e sui tassi? Leggi questa lezione dell’università di Ferrara, troverai molti esercizi svolti e degli esempi validi.

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